双曲線の漸近（直）線について

2025年9月，X（旧Twitter）で双曲線の漸近線に関する投稿を見かけた。標準形で表される双曲線の漸近線について，高校教科書の記述を検証してみる。

双曲線の標準形

双曲線の標準形は次の通りである：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$$

漸近線の導出

漸近線は，双曲線が無限遠で近づく直線である。$x \to \infty$ の極限を考えよう。

双曲線上の点 $(x, y)$ を $y = kx + c$ とおくと，$x \to \infty$ で $c \to 0$ となる $k$ を求めればよい。

双曲線の方程式より，

$$y = \pm b \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} = \pm \frac{b}{a} x \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$$

$x \to \infty$ のとき，$\sqrt{1 - a^2/x^2} \to 1$ なので，

$$y \approx \pm \frac{b}{a} x$$

したがって，漸近線は $y = \pm \dfrac{b}{a} x$ である。

注意点

高校教科書では「双曲線は漸近線に限りなく近づくが交わらない」と書かれていることが多い。実際，双曲線と漸近線の距離を計算すると，$x \to \infty$ で $0$ に収束することが示せる。

ただし，「交わらない」というのは正確には「実数の範囲では交わらない」という意味であり，複素数の範囲では話が異なる。この点は教科書には書かれていないが，興味深い視点である。